公式记号
$$ P(A \cap B) = P(AB) $$
事件独立性
独立 (Independent) 和两两相互独立 (Pairwise independent)
记有事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ ，若事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 独立：
$$ P(A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_m) = P(A_1)P(A_2)…P(A_m) $$
若事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 两两相互独立：
$$ P(A_i \cap A_j) = P(A_i)P(A_j), for\ any \ 1 \le i, j \le m $$
注意
事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 独立比事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 两两相互独立的条件更强，即使事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 两两相互独立，事件 $$A_1、A_2、…、A_m$$ 也不一定独立，即公式 $$(3)$$ 成立，公式 $$(2)$$ 也不一定成立。
例子
抛两次骰子，记第一次抛出正面为事件 $$A$$ ，记第二次抛出正面为事件 $$B$$ ，记两次抛出得到相同的面为事件 $$C$$ ，事件 $$A、B、C$$ 两两相互独立，但是事件 $$A、B、C$$ 并不独立：
$$ P(A \cap B) = P(A \cap C) = P(B \cap C) = \frac{1}{4} $$
$$ P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{8} $$
多项式系数与分堆、分配问题
多项式系数
问题定义
设有 $$n \geq 1$$ 个不同的物品， $$r$$ 个不同的人，把 $$n_i$$ 个物品分给第 $$i$$ 个人， $$\sum_i^r n_i = 1$$ ，且 $$n_i \geq 0,for \ any \ i$$ ，有多少种分配方法 ？
解决方法
假设有 $$c$$ 种分配方法，$$n$$ 件物品共有 $$n!$$ 种排列方法，考虑每一个划分 $$n_i$$ ，每一个划分共有 $$n_i!$$ 种排列方法，可得下列等式：
$$ c*n_1!n_2! \cdots * n_r! = n! $$ 所以，得到分配方法有
$$ c = \frac{n!}{n_1!n_2! \cdots * n_r!} $$ 公式 $$(7)$$ 即为多项式系数。
分堆问题
问题定义
将若干物品分为若干部分，有多少种分法 ？
例子
将 $$7$$ 名运动员分为 $$3$$ 组，比例为 $$2:2:3$$ ，有多少种不同的分法 ？
解决方法
$$ N = \frac{\binom{7}{2} \binom{5}{2} \binom{3}{3}}{\mathrm{A}_2^2} $$
除以 $$\mathrm{A}_2^2$$ 是为了减去分配比例相同的分配方法中的重复的项。
分配问题
问题定义
将若干物品按比例分给不同人，有多少种分法？
例子
将 $$12$$ 支笔按照 $$2:2:2:3:3$$ 的比例分给 $$A、B、C、D、E$$ 5个人，有多少种分法 ？
解决方法
$$ N = \binom{12}{2} \binom{10}{2} \binom{8}{2} \binom{6}{3} \binom{3}{3} $$
分给不同的人即不同的排列是不同的分配方法，不需要用除法减去重复排列的数量。
若改为分堆问题
将 $$12$$ 支笔按照 $$2:2:2:3:3$$ 的比例为 $$5$$$ 份，有多少种分法 ？
$$ N = \frac{\binom{12}{2} \binom{10}{2} \binom{8}{2} \binom{6}{3} \binom{3}{3}}{\mathrm{A}_3^3 \mathrm{A}_2^2} $$
其中 $$\mathrm{A}_3^3$$ 为 $$2:2:2$$ 的部分的重复数量， $$\mathrm{A}_2^2$$ 为 $$3:3$$ 的部分重复的数量。