中心矩

矩 概率统计中用于描述样本的分布情况的数学量。 原点矩 令 $$k$$ 为正整数， $$a$$ 为任意实数， $$X$$ 为随机变量，则 $$ \upsilon_k = E((X-a)^k) $$ 称为随机变量对 $$a$$ 的 $$k$$ 阶矩。 当 $$a = 0$$ 时， $$ \upsilon_k = E(X^k) $$ 即为随机变量 $$X$$ 的 $$k$$ 阶原点矩。 随机变量 $$X$$ 的 一阶原点矩 即为其期望 $$E(X)$$ ，也称为样本的中心。 中心矩 对于一维随机变量 $$X$$，其 $$k$$ 阶中心矩 $$\mu_k$$ 为相对于 $$E(X)$$ 的 $$k$$ 阶矩： $$ \mu_k = E((X-E(X)^k)) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x) dx $$ 意义 0 阶中心矩 $$\mu_0$$ 恒为 $$1$$ ； 1 阶中心距 $$\mu_1$$ 恒为 $$0$$ ； 2 阶中心距 $$\mu_2 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^2dx = E(X^2) - E(X)^2$$ ，为 $$X$$ 的方差 $$Var(X)$$ ； 3 阶中心距 $$\mu_3 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^3 dx$$ 为 $$X$$ 的偏态； 4 阶中心距 $$\mu_4 = \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(x)]^4 dx$$ 为 $$X$$ 的峰态； 性质 中心矩具有平移不变性，对任意随机变量 $$X$$ 和任意常数 $$c$$ ，恒有：$$\mu_n(X+c) = \mu_n(X)$$ ； $$n$$ 阶中心矩是 $$n$$ 的齐次函数：$$\mu_n(cX) = c^n\mu_n(X)$$ ； 样本距 样本的 $$k$$ 阶原点矩： $$\alpha_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^k$$ ； 样本的 $$k$$ 阶中心矩： $$\beta_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [X_i - E(X)]^k$$ ； ...